Как найти объем шара по радиусу?

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • Доказательство теорем об объемах шара и его частей и площади сферы
  • Определение частей шара
  • Решение задач на нахождение объемов шара, его частей и площади сферы

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Площадь сферы равна S=4 πR 2 .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

При вращении кругового сектора АОВ вокруг радиуса ОА получается тело вращения — шаровой сектор радиуса R=ОА и высотой сектора h=DA. Объем его вычисляется по формуле: V= (2/3)*πR²*h. Рассмотрим сечение этого сектора (смотри рисунок): в прямоугольном треугольнике ОВD (радиус круга ОА перпендикулярен хорде ВС) угол ВОD равен 60° (дано). Значит Тогда высота шарового сектора равна h=DA=OA-OD=R-R/2=R/2.
V=(2/3)*π*R²*R/2=(1/3)πR³.

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Формула объема шарового сектора: V = (2/3)*πR²*h, где h — высота сегмента. В нашем случае R=H+h, где Н — высота конуса, а h- высота сегмента. Тогда h = R-H = 6-4 =2, так как Н = (1/3)*2*R (дано). Значит V = (2/3)*π*36*2 = 48π.
Ответ: объем шарового сектора равен 48π

№3.По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью и см 2 . Расстояние между сечениями равно см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .

Площадь сферы. Объем шара

Многие из нас любят играть в футбол или, по крайней мере, почти каждый из нас слышал про эту знаменитую спортивную игру. Всем известно, что в футбол играют мячом.

Если спросить прохожего, форму какой геометрической фигуры имеет мяч, то часть людей скажут, что форму шара, а часть, что формы сферы. Так кто же из них прав? И в чем разница между сферой и шаром?

Шар — это пространственное тело. Внутри шар чем-либо заполнен. Поэтому у шара можно найти объем.

Примеры шара в жизни: арбуз и стальной шарик.

Шар и сфера, подобно кругу и окружности, имеют центр, радиус и диаметр.

Сфера — поверхность шара. У сферы можно найти площадь поверхности.

Примеры сферы в жизни: волейбольный мяч и шарик для игры в настольный теннис.

Как найти площадь сферы

Формула площади сферы: S = 4 π R 2

Для того, чтобы найти площадь сферы, необходимо вспомнить, что такое степень числа. Зная определение степени, можно записать формулу площади сферы следующим образом.
S = 4 π R 2 = 4 π R · R;

Закрепим полученные знания и решим задачу на площадь сферы.

Зубарева 6 класс. Номер 692(а)

  • Вычислите площадь сферы, если её радиус равен 1
    10
    11

    м. (возьмите π как 3

    1
    7

    )

Вспомнив, как выделить целую часть и перемножить дроби, воспользуемся формулой площади сферы:

S = 4 · π R 2 = 4 · 3

1
7

· (1

10
11

) 2 = 4 ·

22
7

· (

21
11

) 2 = 4 ·

22
7

·

441
121

=

4 · 22 · 441
7 · 121

=
=

4 · 22 · 63
121

=

4 · 2 · 63
11

=

504
11

= 45

9
11

м 2

Как найти объем шара

Запомните!

  • Формула объема шара: V =
    4
    3

    π R 3

Зная определение степени, можно записать формулу объема шара следующим образом.

  • V =
    4
    3

    π R 3 =

    4
    3

    π R · R · R;

Для отработки полученных знаний решим задачу на объем шара.

Зубарева 6 класс. Номер 691(а)

  • Вычислите радиус шара, если его объем равен 4
    4
    21

    м 3 (возьмите π как 3

    1
    7

    )

Выразим из формулы объема шара радиус.

  • V =
    4
    3

    π R 3

  • 4
    3

    π R 3 = V

  • π R 3 =
    3V
    4
  • R 3 =
    3V
    4 π

Подставим в формулу известные нам значения. Число π возьмем как задано в задании « 3

1
7

».
R 3 = (3 · 4

4
21

) / (4 · 3

1
7

)

Чтобы не запутаться, отдельно рассчитаем числитель дроби.

3 · 4

4
21

= 3 ·

21 · 4 + 4
21

=

3 · 88
21

=

88
7

Теперь снова подставим полученное значение в нашу формулу:

  • R 3 =
    88
    7

    / (4 · 3

    1
    7

    ) =

    88
    7

    / (4 ·

    22
    7

    ) =

    88
    7

    / (

    4 · 22
    7

    ) = =

    88
    7

    · (

    7
    4 · 22

    ) =
    =

    88 · 7
    7 · 4 · 22

    =

    88
    4 · 22

    =

    88
    88

    = 1

  • R 3 = 1
  • R = 1 м

При окончательном расчете радиуса не надо заставлять ребенка считать кубический корень. Учащиеся 6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.

В 6 классе при решении такой задачи используйте метод перебора.

Спросите ученика, какое число, если его умножить 3 раза на самого себя даст единицу.

Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части
Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

где
r – радиус сферы.

где
r – радиус шара.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Урок «Объем шара»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В этом уроке мы выведем формулу для вычисления объема шара, применим ее при решении задач.

Объем шара радиуса R равен

Итак, нам дан шар радиуса R. Нужно доказать формулу объема шара – объем шара радиуса R равен

Для вычисления объема шара применим уже известную нам интегральную формулу:

, где S(x) – площадь сечения, перпендикулярного оси Ox и проходящего через точку с абсциссой x.

1.Введем координатную ось OX, проходящую через центр шара.

2.Проведем сечение, проходящее через точку P перпендикулярно оси Ox.

3.Найдем зависимость площади сечения S от значения x.

Сечением будет круг, с центром в точке P.

Обозначим его радиус через r, а площадь через S(x).

Рассмотрим прямоугольный треугольник OPQ.

Точка P в нашей системе координат имеет абсциссу x, поэтому OP = x;

PQ – это радиус сечения r, OQ – радиусом шара R.

Найдем радиус сечения r:

r малое = PQ = корню квадратному из и равен корню квадратному из

4.Осталось вычислить определенный интеграл.

Объем шара = интегралу от –R до R умножить на разность dx

Этот интеграл разбивается на разность двух интегралов интеграл от –R до R dx минус  интеграл от –R до R x2dx.

Выполнив несложные вычисления, получим формулу объема шара:

Переходим к рассмотрению задач.

Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности, найдите R и V, если S = 64 см2.

Площадь поверхности шара S равна 64 квадратных сантиметров.

Найти: радиус и объем шара.

1.Для вычисления радиуса воспользуемся уже известной нам формулой площади поверхности сферы:

Выразим из этой формулы радиус.

Радиус будет равен корню квадратному из дроби, в числителе которой S, в знаменателе 4.

Подставив в полученную формулу известное по условию задачи значение площади, S=64, найдем радиус.

Радиус будет равен корню квадратному из дроби, в числителе которой 64, в знаменателе 4, и равен 4 см.

2.Теперь, зная радиус сферы, мы можем вычислить ее объем.

Объем равен , и равен 4, умноженное на 4 в кубе, деленное на три, умноженное на , и равен 256 третьих  кубических сантиметров.

Ответ: Радиус шара равен 4 сантиметра, Объём шара равен 256 третьих  кубических сантиметров.

Задача 2. Дан шар. По одну сторону от центра проведены два параллельных сечения, радиусы которых равны 9 и 12. Найдите объем шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 3.

r1,r2 – радиусы сечений

O1O2 – расстояние между сечениями

Формула для нахождения объема шара:

1.Найдем радиус шара R.

На чертеже мы видим два параллельных сечения (два круга), с центами в точках O1 и O2, радиусы которых обозначены через r1 и r2.

Проведем ось Ox через центр шара, перпендикулярно плоскостям сечений, она пройдет через точки O1 , O2.

(перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, проходит через центр круга, лежащего в сечении).

Рассмотрим треугольники: и .

Так как ось Ox проведена перпендикулярно плоскостям сечений, то эти треугольники прямоугольные.

Из по теореме Пифагора находим:

Так как OM = ON = R, то можно составить уравнение:

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала
Инфоурок
07.11.2014
Геометрия
Видеоурок
12403
1015

© 2021 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Площадь и объём поверхности шара

Имея при себе всего одну формулу и зная изначально, чему равен диаметр или радиус, можно с лёгкостью вычислить площадь поверхности шара. Формула будет иметь вид S =4πR2, где число «пи» умножается на 4, затем на радиус шара в квадратной степени. Но перед непосредственными вычислениями следует сразу разобраться в терминах.

Трактовка значений

Это следует знать:

  • Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
  • Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
  • Число «пи» — это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
  • Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
  • Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
  • Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
  • Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.

Занимательные факты

  1. У числа «пи» есть собственные фан-клубы по всему миру. Члены общества пытаются запомнить как можно больше знаков из этого числа, а также пытаются разгадать вселенские тайны, сокрытые в числе.
  2. Площадь суши Земли составляет всего 29,2 % от её общей поверхности. Точное число площади сложно назвать из-за неравномерного рельефа Земли, такие как впадины и горы.
  3. Знания о формуле площади шара можно применять и в быту. Также этими знаниями можно подавлять соперника в споре.

Продемонстрировав объём своих знаний в области геометрии, можно изначально заставить вас уважать, а ремонтникам и продавцам можно дать понять, что вас просто так не обмануть.

Применение формулы

Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара, диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.

Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.

Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.

Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.

Рождение формулы

Принято считать, что первый, кто нашёл и вывел формулу объёма и площади шара, был Архимед. Это величайший древнегреческий учёный, живший за 300 лет до нашей эры. Он был не только математиком, но и физиком, и инженером. Он один из первых людей, кто попытался «оцифровать» окружающий нас мир. Его теоремы и труды используются по сей день.

Именно Архимед определил границы числа «пи» и обозначил их, не имея никаких современных гаджетов. Сам Архимед очень гордился найденной формулой, с помощью которой вычисляется объём шара. Его потомки в честь этого изобразили на его могильном камне цилиндр и шар.

Если бы каким-то чудом он переродился в наше время, то он сразу же смог бы преобразить этот мир и вывести его на новый уровень.

Видео

На примере этого видео вам будет легко понять, как найти площадь поверхности шара.

Объем шара и его частей

Шаровый сектор

Определение. Тело, получаемое от вращения (черт. 146) кругового сектора (COD) вокруг диаметра (АВ), не пересекающего ограничивающую его дугу, называется шаровым сектором. Это тело ограничено боковыми поверхностями двух конусов и поверхностью шарового пояса; последняя называется основанием шарового сектора. Один из радиусов кругового сектора может совпадать с осью вращения; например, сектор АОС, вращаясь вокруг АО, производит шаровой сектор ОСАС1, ограниченный боковой поверхностью конуса и сегментной поверхностью. Для нахождения объёма шарового сектора и целого шара мы предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. Если (Delta)ABC (черт. 147) вращается вокруг оси ху, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину А, но не пересекает стороны ВС, то объём тела, получаемого при этом вращении, равен произведению поверхности, образуемой противоположной стороной ВС, на одну треть высоты h, опущенной на эту cторону.

При доказательстве рассмотрим три случая:

1) Ось совпадает со стороной АВ (черт. 148).

В этом случае искомый объём равен сумме объёмов двух конусов, получаемых вращением прямоугольных треугольников BCD и DCA.

Первый объём равен 1 /3 π CD 2 • DB, а второй 1 /3 π CD 2 • DA; поэтому объём, образованный вращением ABC, равен 1 /3 π CD 2 (DB+DA) = 1 /3 π CD • CD • BA

Произведение CD • BA равно ВС • h, так как каждое из этих произведений выражает двойную площадь / ABC ; поэтому

объём ABC = 1 /3 π CD • BC• h.

Но произведение π CD • BC равно боковой поверхности конуса BDC; значит,

объём ABC = (поверхность BC)• 1 /3 h.

2) Ось не совпадает с АВ и не параллельна ВС (черт. 149).

В этом случае искомый объём равен разности объёмов тел, производимых вращением треугольников АМС и АМВ. По доказанному в первом случае

объём AMС = 1 /3 h • (поверхность МС),

объём AMB = 1 /3 h • (поверхность MB);

объём ABC = 1 /3 h • (поверхность МС-поверхность МВ) = 1 /3 h • (поверхность ВС).

3) Ось параллельна стороне ВС (черт. 150).

Тогда искомый объём равен объёму, производимому вращением DEBC, без суммы объёмов, производимых вращением треугольников АЕВ и ACD;

первый из них равен π DC 2 • ED;

второй 1 /3 π EB 2 • EA

и третий 1 /3 π DC 2 • AD.

Приняв теперь во внимание, что ЕВ = DC, получим:

объём АВС = π DC 2 [ED — 1 /3(ЕА + AD)] = π DC 2 ( ED — 1 /3ED ) = 2 /3 • π DC 2 • ED.

Произведение 2π DC• ED выражает боковую поверхность цилиндра, образуемую стороной ВС; поэтому

объём АBС = (поверхность BC)• 1 /3DC = (поверхность BC) • 1 /3 h.

Объем шарового сектора

Определение. За величину объёма шарового сектора, получаемого вращением вокруг диаметра (ЕF, черт. 151) кругового сектора (AOD), принимается предел, к которому стремится объём тела, образуемого вращением многоугольного сектора, который ограничен крайними радиусами (ОА и OD) и правильной ломаной линией (ABCD), вписанной в дугу кругового сектора, когда число сторон её неограниченно увеличивается.

Теорема. Объём шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или соответствующей сегментной поверхности) на треть радиуса.

Пусть шаровой сектор производится вращением вокруг диаметра ЕF (черт. 151) сектора AOD.

Определим его объём V. Для этого впишем в дугу AD правильную ломаную линию ABCD с произвольным числом сторон. Многоугольный сектор OABCD образует при вращении некоторое тело, объём которого обозначим буквой V1. Объём этот есть сумма объёмов тел, получаемых вращением треугольников ОАВ, ОВС, OCD вокруг оси ЕF.

Применим к этим объёмам лемму, доказанную ранее, причём заметим, что высоты треугольников равны апофеме а вписанной ломаной. Согласно этой лемме будем иметь:

V1= (поверхность АВ) • a /3+ (поверхность ВС) • a /3 + . = (поверхность ABCD) • a /3 .

Вообразим теперь, что число сторон ломаной линии неограниченно увеличивается. При этом условии поверхность ABCD стремится к пределу, именно к поверхности шарового пояса AD, а апофема а имеет пределом радиус R; следовательно,

V = пределу V1 = (поверхность пояса AD) • R /3.

Замечание. Теорема и её доказательство не зависят от того, будет ли один из радиусов кругового сектора совпадать с осью вращения или нет.

Объем сферы

Теорема. Объём шара равняется произведению его поверхности на треть радиуса.

Разбив полукруг ABCD (черт. 152), производящий шар, на какие-нибудь круговые секторы АОВ, ВОС, COD, мы заметим, что объём шара можно рассматривать как сумму объёмов шаровых секторов, производимых вращением этих круговых секторов.

Так как согласно предыдущей теореме

объём АОВ = (поверхность АВ) • 1 /3 R,

объём ВОС = (поверхность BC) • 1 /3 R,

объём COD = (поверхность CD) • 1 /3 R,

объём шара = (поверхность АВ + поверхность ВС + поверхность CD)• 1 /3 R =

= (поверхность ABCD)• 1 /3 R.

Замечание. Можно и непосредственно рассматривать объём шара как объём тела, образованного вращением вокруг диаметра кругового сектора, центральный угол которого равен 180°.

В таком случае объём шара можно получить как частный случай объёма шарового сектора, у которого шаровой пояс составляет всю поверхность шара.

В силу предыдущей теоремы объём шара будет при этом равен его поверхности, умноженной на одну треть радиуса.

Следствие 1. Обозначим высоту шарового пояса или сегментной поверхности через H, радиус шара — через R, а диаметр — через D; тогда поверхность пояса или сегментная поверхность выразится формулой 2πRH, а поверхность шара — формулой 4πR 2 ; поэтому

объём шарового сектора = 2πRH• 1 /3 R= 2 /3πR 2 H;

объём шара = 4πR 2 • 1 /3 R= 4 /3πR 3 1)

Отсюда видно, что объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров.

Объём шара может быть выведен (не вполне, впрочем, строго) следующим простым рассуждением. Вообразим, что вся поверхность шара разбита на очень малые участки и что все точки контура каждого участка соединены радиусами с центром шара. Тогда шар разделится на очень большое число маленьких тел, из которых каждое можно рассматривать как пирамиду с вершиной в центре шара. Так как объём пирамиды равен произведению поверхности основания на третью часть высоты (которую можно принять равной радиусу шара), то объём шара, равный, очевидно, сумме объёмов всех пирамид, выразится так:

объём шара = S • 1 /3 R,

где S-сумма поверхностей оснований всех пирамид. Но эта сумма поверхностей оснований должна составить поверхность шара, и, значит,

объём шара = 4πR 2 • 1 /3 R = 4 /3πR 3 .

Таким образом, объём шара может быть найден посредством формулы его поверхности. Обратно, поверхность шара может быть найдена с помощью формулы его объёма из равенства:

S • 1 /3 R = 4 /3πR 3 откуда S = 4πR 2 .

Следствие 2. Поверхность и объём шара соответственно составляют 2 /3 полной поверхности и объёма цилиндра, описанного около шара.

Действительно, у цилиндра, описанного около шара, радиус основания равен радиусу шара, а высота равна диаметру шара; поэтому для такого цилиндра

полная поверхность описанного цилиндра = 2πR• 2R + 2πR 2 = 6πR 2 ,

объём описанного цилиндра = πR 2 • 2R = 2πR 3 .

Отсюда видно, что 2 /3 полной поверхности этого цилиндра равны 4πR 2 , т. е. равны поверхности шара, а 2 /3 объёма цилиндра составляют 4 /3 πR 3 , т. е. объём шара.

Это предложение было доказано Архимедом (в III в. до н. э.). Архимед выразил желание, чтобы чертёж этой теоремы был изображён на его гробнице, что и было исполнено римским военачальником Марцеллом (Ф. Кэджори, История элементарной математики).

Предлагаем доказать, что поверхность и объём шара составляют 4 /9 соответственно полной поверхности и объёма описанного конуса, у которого образующая равна диаметру основания. Соединяя это предложение с указанным в следствии 2, мы можем написать такое равенство, где Q обозначает поверхность или объём:

Определения. 1) Часть шара (АСС&#146, черт. 154), отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью (СС&#146), называется шаровым сегментом. Круг сечения называется основанием сегмента, а отрезок Ат радиуса, перпендикулярного к основанию, — высотой сегмента.

2) Часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями (СС&#146 и DD&#146), называется шаровым слоем. Круги параллельных сечений называются основаниями слоя, а расстояние тп между ними-его высотой.

Оба эти тела можно рассматривать как происходящие от вращения вокруг диаметра АВ части круга АтС или части СтпD.

Теорема. Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, т.е.

где H есть высота сегмента, а R — радиус шара.

Объём шарового сегмента, получаемого вращением вокруг диаметра АD (черт. 155) части круга АСВ, найдётся, если из объёма шарового сектора, получаемого вращением кругового сектора АОВ, вычтем объём конуса, получаемого вращением (Delta)СОB.

Первый из них равен 2 /3πR 2 H, а второй 1 /3πCB 2 .

Так как СВ есть средняя пропорциональная между АС и СD, то СВ 2 = H(2R-H), поэтому

СВ 2 •СО = H(2R-H)(R-H) = 2R 2 H — RН 2 — 2RН 2 + Н 3 = 2R 2 H — 3Н 2 R + Н 3 ;

объём АВВ1 = объёму ОВАВ1 — объём ОВВ1 = 2 /3πR 2 H — 1 /3πCB 2 •СО =

= 2 /3πR 2 H — 2 /3πR 2 H + πRH 2 — 1 /3πH 3 = πH 2 (R — 1 /3H)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: